Fréquence
La fréquence correspond au nombre de vibrations par seconde d’un son.
L’oreille humaine perçoit (dans les meilleurs des cas) les fréquences sonores dans une plage entre 20 Hz et 20000 Hz.
La guitare, instrument de démonstration théorique
La guitare est l’instrument idoine pour démontrer les phénomènes physiques et sonores de la vibration d’une corde tendue entre 2 extrémités.
En prenant exemple sur une Gibson ES, la plage de fréquences va :
- de la 6ème corde à vide E (E1 dans les octaves d’un piano) à 82,407 HZ
- à la note du D aigu (D5 dans les octaves d’un piano) à 1174,7 Hz sur la 1ère corde.
Le modèle physique de la corde vibrante, donne en premier lieu la fréquence du son d’une Fondamentale.
Mais l’équation admet également un ensemble de solutions qui correspondent à des fréquences multiples de cette Fondamentale : les harmoniques.
Pour les plus matheux d’entre nous, ces fréquences harmoniques successives forment une progression géométrique de fréquences.
Passons à l’expérimentation
Sur la Gibson le diapason (du sillet au chevalet) est de 62,4 cm.
Octave
En divisant la distance du diapason par 2, on produit sur la corde vibrante un son qui correspond à l’octave de la corde à vide.
La distance entre le sillet et l’octave est de 31,2 cm (à la 12ème frette)
Donc, sur une corde les 12 premières cases produisent tous les demi-tons jusqu’à l’octave de la gamme chromatique à partir de la note en corde à vide.
Dans le musique occidentale le demi-ton est le plus petit intervalle entre deux degrés d’une gamme (la gamme chromatique indienne en contient 24).
Si on accorde correctement la corde de E (1ère corde) avec un accordeur électronique qui affiche les fréquences on va trouver une valeur de fréquence de 329,63 HZ (sur une base de référence du A à 440 HZ)
A la 12ème case, la fréquence doit donner une valeur de 659,26 Hz. Cette valeur est le double de la fréquence en corde à vide.
Les deux sons (corde à vide et octave) sont dans une rapport des fréquences entre 1 et 2.
Le rapport des fréquences est une fraction dont :
- le numérateur est la fréquence étudiée
- le dénominateur est la fréquence de référence (unité de fréquence 1)
Pour la première corde, le rapport des fréquences entre octave et corde à vide est 659,26 / 329,63 = 2.
L’octave est le premier intervalle consonant.
C’est aussi la première fréquence harmonique au dessus de la Fondamentale
Quinte
Maintenant, si on appuie au 1er tiers de la corde de E (à 20,8 cm), la partie de la corde vibrante est de 41, 6 cm.
A cette distance (qui correspond à la 7ème frette) la valeur de la fréquence doit être de 493,88 Hz.
Le rapport de ces 2 fréquences est 493,88 / 329,63 = 1,498.
A la 7ème case, la note obtenue sur la corde de E est la note B (B3 au piano).
Entre les deux notes nous avons un intervalle de Quinte (7 demi-tons) avec un rapport de fréquences très proche d’une valeur de 1,5.
La Quinte est le deuxième intervalle consonant.
C’est aussi la deuxième fréquence harmonique au dessus de la Fondamentale.
L’accord pythagoricien
Pythagore, mathématicien de l’antiquité, aurait fait le constat suivant à partir d’un instrument unicorde (et sans électronique !) :
- Une corde vibrante au 2/3 produit une 1ère Quinte à un rapport de fréquence de 3/2.
- si on prend à nouveau les 2/3 de la 1ère Quinte on obtient la Quinte de la Quinte
- 2/3 des 2/3 donne une longueur de corde de 4/9 et un rapport de fréquence de 9/4
- mais cette fréquence n’est pas contenue dans l’octave qu’il étudie
- il multiplie donc le dénominateur de la fréquence par 2 (diminution d’une octave) pour obtenir un rapport de fréquence de 9/8
- au bout de 7 occurrences il constate que le rapport de fréquence est proche de 2 (2,14 exactement) et considère que les 7 valeurs trouvées forment les notes d’une gamme à 7 sons partant d’une fondamentale pour arriver à l’octave.
La gamme de Pythagore place bien les intervalles consonants de base :
- l’octave correspond au rapport 2/1
- la Quinte au rapport 3/2
- la Quarte (vue comme une Quinte descendante ramenée à l’octave) est au rapport 4/3.
Les défauts d’un tel système sont :
- les notes n’ont pas, entre elles, des intervalles constants et une musique écrite pour une Tonalité n’est pas transposable dans une autre.
- la septième Quinte calculée qui est censée donner l’octave est fausse (2,14 au lieu de 2)
Aller jusqu’à 12 demi-tons
La gamme avec accord pythagoricien ne comporte que 7 notes et les intervalles entre les notes ne sont pas réguliers.
Les théoriciens ont donc poursuivis le cycle de Pythagore non plus sur 7 Quintes mais sur 12.
Ce faisant, il se sont aperçus qu’un nouveau point de convergence à l’octave y apparaissait avec une fréquence encore plus proche de 2 (2,03 exactement)
La gamme tempérée
Les musiciens jouant des instruments à sons fixes (piano, guitare, etc) ne peuvent pas, a contrario des instruments non frettés ajuster la hauteur des notes pendant l’interprétation.
Il a fallu trouver un compromis à la justesse des Quintes en changeant très légèrement les intervalles sonores pour qu’ils s’étagent de façon égale dans une perception sonore logarithmique.
Là, les matheux sont venus au secours des musiciens (à moins que ce soit les mêmes !)
Pour avoir 12 demi-tons égaux dans une octave où le rapport de fréquences doit être impérativement de 2 cela conduit à l’équation :
(C’est plus pratique à utiliser que e=mc2 et cela fait moins de dégâts)
La valeur de r représente le rapport des fréquences entre 2 demi-tons successifs.
En résolvant l’équation on obtient :
Calcul des fréquences
La formule de calcul d’une fréquence est fonction du nombre de demi-tons (valeur n) entre la note de référence et la note étudiée.
- n est compté positivement vers les demi-tons supérieurs (puissance positive)
- n est compté négativement vers les demi-tons inférieurs (puissance négative)
Monter
Pour monter une fréquence d’un demi-ton il faut la multiplier par la valeur de r.
Pour monter une fréquence de 2 demi-tons il faut la multiplier par la valeur de r élevée au carré.
Pour 3 demi-tons = valeur de r élevée au cube. etc
Exemples (tous donnés à partir d’un A à 440 Hz)
- pour connaître la fréquence de la note Bb à partir de la note A (A3 piano)
- 440 Hz X 1,05946 = 466,16 Hz
- pour connaître la fréquence de la note C4 à partir de A3
- C4 est à 3 demi-tons au dessus de A3
- 440 Hz X 1,05946 à la puissance 3 = 523,251 Hz
Descendre
Pour descendre une fréquence d’un demi-ton il faut la diviser par la valeur de r.
Pour descendre une fréquence de 2 demi-tons il faut la diviser par la valeur de r élevée au carré.
Pour 3 demi-tons = valeur de r élevée au cube. etc
Exemples (tous donnés à partir d’un A à 440 Hz)
- pour connaître la fréquence de la note G# à partir de la note A (A3 piano)
- 440 Hz : 1,05946 = 415,3Hz
- pour connaître la fréquence de la note D3 à partir de A3
- D3 est à 7 demi-tons en dessous de A3
- 440 Hz : 1,05946 à la puissance 7 = 293,665 Hz
Tableau des fréquences de notes de la gamme tempérée
A partir de la formule on établit aisément un tableau des fréquences.
Les fréquences de la tessiture de la guitare sont surlignées.
Les intervalles tempérés
Je soumets à votre sagacité les observations suivantes :
Quinte tempérée
- formée de 7 demi-tons elle correspond au rapport de fréquence r élevé à la puissance 7, soit 1,4983.
- la Quinte Juste est dans le rapport 3 / 2 =1,5
- le comma de l’écart n’est pratiquement pas perceptible
Les notes consonantes
La consonance est parfaite
- sur le rapport de la Fondamentale (rapport 1/1) et sur le rapport de l’octave (rapport 2/1)
- sur le rapport de la Quinte (rapport 3/2) qui est un rapport de Quarte sur l’octave descendante
- sur le rapport de la Quarte (rapport 4/3) qui est un rapport de Quinte sur l’octave montante
La consonance est imparfaite dans tous les cas our le rapport à la Fondamentale s’inverse dans le rapport des fréquences :
- monter en fréquence d’un demi-ton à partir de la note C arrive à la note D qui est diatonique à la gamme
- descendre en fréquence d’un demi-ton à partir de la note C arrive à la note Bb qui n’est pas diatonique à la gamme